Probabilidade, de modo geral, significa investigar a chance de dado evento ocorrer, dentre uma soma de possibilidades. A probabilidade ‘condicional’, por sua vez, diz respeito à dinâmica das coisas diante de uma condição imposta. Assim, busca-se examinar a chance de o evento A ocorrer, considerando que o evento B já ocorreu. O evento B é chamado de condição – é como se ele “condicionasse o evento A“. De modo geral, os exercícios perguntam qual é a probabilidade de A acontecer, dado que B ocorreu? Entretanto, as perguntas não são claras assim. Muitas vezes, as questões citam um milhão de informações e cabe a você saber destrinchar o enunciado para identificar o insumo disponível para o bolo.
Geralmente, adota-se uma fórmula padrão. A fórmula trata-se de uma fração. É a seguinte: P (A|B) = P (A∩B) ÷ P (B).
Em que P (A|B) significa probabilidade de acontecer A dada a condição B (um evento que já aconteceu, por exemplo). P (A∩B) diz respeito à probabilidade dos elementos em comum (chamada interseção) dos eventos A e B. É que o evento A, em termos de probabilidade, não é único (ele é composto por uma série de possibilidades) assim como o é o evento B (um conjunto de possibilidades).
Matematicamente, representamos o evento A e o evento B assim (mero exemplo): A = {1,2,3,4} e B = {1,2,5,6}. Logo, comparando os elementos de A e os elementos de B é possível que encontremos pontos em comum, caso dos números 1 e 2.
Banca própria UFAC (2019):
QUESTÃO CERTA: Considere dois eventos X e Y obtidos de um experimento aleatório em um espaço amostral Ω, de modo que:
• A probabilidade do evento X ocorrer seja igual a 3/5 .
• A probabilidade do evento Y ocorrer seja igual a 1/2 .
• A probabilidade condicional do evento X ocorrer sabendo que o evento Y ocorreu é igual a 2/3 .
Com base nestas informações, pode-se dizer que a probabilidade de ocorrer o evento X ou Y é igual a: 23 /30.
Em estatística quando se pergunta a probabilidade de um ou o outro evento ocorrer, o interesse está em descobrir o valor de P (XUY). A sua fórmula é dada por P(XUY) = P (X) + P(Y) – P(X ⋂ Y). Não temos o valor de P(X ⋂ Y). Mas, da fórmula para probabilidade condicional, temos que P (X|Y) = P(X ⋂ Y) / P(Y). Substituindo os dados do enunciado:
2/3 = P(X ⋂ Y) / 1/2. Disso, descobrimos que P(X ⋂ Y) = 1/3. Voltando com esse um terço na relação acima, temos o seguinte:
P(X U Y) = P(X) + P(Y) – P(X ⋂ Y)
P(X U Y) = 3/5 + 1/2 – 1/3 = 23/30.
FGV (2021):
QUESTÃO CERTA: Dois eventos A e B são tais que P[A] = 0,8, P[B] = 0,5 e P[A|B]= 0,4. Assim, a probabilidade condicional P[B|A] é igual a: 25%.
Vejamos porque a resposta é 25%. Observe que foi dado P(A|B) e queremos o inverso, isto é, P(B|A). A resposta certa é de 25%. Como chegamos a esse valor? Antes de mais nada, é importante ter em mente que os elementos em comum do espaço amostral de A com B são os mesmos elementos em comum do espaço amostral de B com A. A probabilidade da interseção entre A = {1,2,3,4} e B = {1,2,5,6} é a mesma da probabilidade da interseção de B = {1,2,5,6} com A = {1,2,3,4}, considerando que eles têm o mesmo número de elementos idênticos.
Vamos aplicar a fórmula: P(B|A) = P(B ∩ A)/P(A) para descobrir P(B|A). Porém, não temos o valor de P(B ∩ A), mas podemos calcular P(A ∩ B) com os dados do enunciado e dizer que o valor desse dois caras é o mesmo.
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Logo, 0,4 = P(A ∩ B) / 0,5. Assim, desta relação fazendo a operação matemática reversa (multiplicando 0,4 por 0,5), descobrimos que P(A ∩ B) = 0,2. Como dito acima, P(B ∩ A) também possui esse valor. Daí, aplicamos a fórmula P(B|A) = P(B ∩ A)/P(A).
P(B|A) = 0,2/ 0,8 = 0,25 que é o mesmo que 25% (resposta da nossa questão).
FGV (2018):
QUESTÃO CERTA: A e B são dois eventos tais que P[A] = 0,4 e P[B] = 0,8. Os valores mínimo e máximo da probabilidade condicional P[A|B] são, respectivamente:0,25 e 0,5.
A fórmula é dada por: P (A|B) = P (A∩B) ÷ P (B).
O nosso maior (máximo) valor de P (A|B) ocorrerá quando o seu numerador P (A∩B) for o maior possível já que o valor de P (B) é inalterável, é um número fixo de 0,8. Igualmente, o nosso menor (mínimo) valor de P (A|B) será aquele para o qual P (A∩B) será o menor.
Aqui temos que entender essa questão de máximo e mínimo. Em estatística, quando falamos de 100% de probabilidade, nos valemos do número 1. Não à toa, as probabilidades vêm em números decimais menores do que 1. Vamos desenhar isso por meio de um fole de sanfona esticado que valerá 1 (100%). Vamos dividir o fole em dez pedaços de 0,10.
Lembrando que, independentemente do caso, na representação gráfica, tudo deve ficar dentro da figura (que representa 100% ou 1). Os elementos de A compreendem 4 caixinhas – já que P (A) = 0,4. Os elementos de B compreendem 8 caixinhas – já que P (B) = 0,8.
Podemos imaginar que as 4 tiras de A tem a cor verde e as 8 tiras de B a cor azul.
Dentro da faixa acima, a maior interseção entre P (A) e P (B) ocorre quando todos os elementos de A sobrepõem 4 tirinhas do B. Como são 4 tirinhas de A sobrepondo B, isso equivale a 4 x 0,1 = 0,4. Por outro lado, se quisermos a menor interseção, temos que afastar as tiras verdes de A e as tiras verdes de B o tanto que der, isto é, for possível. Nesse caso, encontraremos duas tiras de A sobrepostas a B. Isso equivale a 0,2.
P (A|B) máx. = P (A∩B) máx. ÷ P (B) = 0,4 ÷ 0,8 = 0,5
P (A|B) mín. = P (A∩B) mín. ÷ P (B) = 0,2 ÷ 0,8 = 0,25
CEBRASPE (2013):
QUESTÃO CERTA: A fórmula de Bayes P(A|B ) = P(B|A) P(A) / P(B) é uma consequência da definição de probabilidade condicional.
A fórmula de Bayes é obtida a partir da fórmula da probabilidade condicional.
A fórmula que temos usado até aqui é dada pela relação: P (A|B) = P (A∩B) ÷ P (B). Sabemos que, o inverso, P (B|A) = P (A∩B) ÷ P (A). Você deve estar encucado pensado “não seria a interseção de B com A em vez de A com B? Aprendemos anteriormente que P (A∩B)é o mesmo que P (B∩A).
Da fórmula P (B|A) = P (A∩B) ÷ P (A), isolamos P (A∩B) e descobrimos que P (A∩B) = P (B|A) x P (A), assim, colocamos esse valor de P (A∩B) na fórmula P (A|B) = P (A∩B) ÷ P (B).
P (A|B) = [P (B|A) x P (A)] ÷ P (B) (resposta da questão).
FGV (2018):
QUESTÃO CERTA: Dois eventos A e B ocorrem, respectivamente, com 40% e 30% de probabilidade. A probabilidade de que A ocorra ou B ocorra é 50%. Assim, a probabilidade de que A e B ocorram é igual a 20%.
